セルリンク型ボタンの［名前をつけて保存（BtNamedSave)］ボタンで、ファイル名に日付を指定すると、日付のシリアル値が表示されてしまう

日付はあくまで表示上の事であって、Excelの内部では、シリアル値として認識されます。
表示を日付の形式にするには、TEXT関数などで文字列型に変更する必要があります。

今日の日付をファイル名にする場合は、以下のように設定します。

ファイル名：　=TEXT(TODAY(), "YYYYMMDD")

TEXT関数については、Excelの関数ヘルプを参照してください。
※ファイル名に（ \ / : , ; * ? " < > | ）等の記号を使うことはできません。